Comparación de eficiencia entre captadores solares planos de seguimiento y óptimamente fijos

Scientific Reports volumen 13, número de artículo: 12712 (2023) Citar este artículo

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Investigamos la orientación óptima para un colector solar de placa plana fija utilizando el modelo de cielo despejado. El componente de reflexión del suelo de la irradiación que incide en la superficie del colector se ignora debido a su magnitud relativamente pequeña en comparación con el haz directo y los componentes de difusión del cielo. Los cálculos analíticos demuestran que, independientemente de la latitud del colector, el ángulo azimutal más efectivo, \(\gamma ^*\), es 0, que generalmente corresponde a una dirección Norte-Sur. Sin embargo, el ángulo de inclinación óptimo, \(\beta ^*\), depende tanto del día del año (DoY) como de la latitud local del recolector. Para latitudes típicas de zonas climáticas de altitud media, podemos calcular el ángulo de inclinación óptimo y la energía máxima que el colector puede recolectar durante cada DoY. Comparamos la energía máxima diaria recibida, que es la suma de las energías difusas del haz directo y del cielo, asociada con esta orientación óptima con sus valores correspondientes cuando la placa plana sigue al Sol. El aumento relativo de la energía total debido al seguimiento del Sol depende críticamente del DoY, con un valor mínimo de alrededor del \(17\%\) a principios del invierno y un valor máximo del \(40\%\) durante un gran intervalo.

Dispositivos como colectores, paneles y concentradores solares están diseñados para recolectar energía de la radiación del Sol1,2,3,4,5,6,7. Maximizar su rendimiento y eficiencia es crucial, y la forma más efectiva de lograrlo es orientando el colector a lo largo del haz del Sol, conocido como Dirección Normal de Irradiancia (DNI). Sin embargo, esto requiere un sistema de seguimiento, ya que la posición aparente del Sol en el cielo cambia a lo largo del día. Si bien los sistemas de seguimiento pueden mejorar significativamente la eficiencia, también pueden ser costosos y requerir energía adicional para su funcionamiento8. Además, su operación y mantenimiento también son costosos. Para reducir estos costos, es deseable colocar los colectores solares en una orientación fija pero óptima y ajustar periódicamente esta orientación según sea necesario. Sin embargo, encontrar la orientación óptima no es una tarea fácil y depende de varios factores extrínsecos, incluidas las condiciones climatológicas y meteorológicas9,10. Normalmente, la orientación óptima de un colector solar se determina empíricamente de forma diaria, mensual, trimestral o anual. Hay algunos factores que pueden afectar la cantidad de irradiación recibida por un colector solar. La irradiación recibida puede depender de la geometría y la forma del colector solar. Además, depende de la latitud del lugar, el día del año y también del clima. Como resultado, determinar la orientación óptima puede ser un proceso complejo y que depende de la ubicación. Muchos colectores solares tienen una superficie plana, como los colectores de placa plana y los paneles fotovoltaicos, mientras que otros tienen una curvatura cóncava, como las antenas parabólicas o los cilindros parabólicos. Sin embargo, en el caso de los colectores curvos, la superficie efectiva que queda expuesta al Sol (apertura) es plana. La orientación de un colector de apertura plana se puede especificar mediante dos ángulos de inclinación, \(\beta\), y acimut, \(\gamma\). En los últimos años, varios grupos de investigación han estado estudiando la optimización de la orientación de los colectores solares en diferentes lugares del mundo. Se han utilizado diferentes técnicas, incluidos algoritmos genéticos y recocido simulado11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29, 30,31,32,33,34,35,36,37,38. Para una revisión detallada ver 39. La mayoría de los artículos que abordan el problema de la orientación óptima para colectores de superficie plana lo han hecho a una escala geográfica local y no universal. Como regla general, se sugiere que en el hemisferio norte (Sur), la orientación óptima es hacia el sur (norte), y que el ángulo de inclinación anual óptimo debe ser el mismo que la latitud local. Sin embargo, otros artículos han propuesto un rango más amplio para el ángulo de inclinación óptimo11,15,16. Desafortunadamente, muchas de estas investigaciones adolecen de la falta de un enfoque matemático integral y riguroso. En este artículo, nuestro objetivo es abordar el problema de optimizar los colectores solares de orientación fija utilizando un marco matemático riguroso. Puede parecer intuitivo que la orientación óptima del colector sea perpendicular a la dirección de los rayos del sol al mediodía solar, ya que la luz del sol brilla casi directamente sobre nosotros durante ese tiempo. Sin embargo, como veremos, considerando la contribución de la energía de irradiación directa a lo largo del día, incluida la radiación temprano en la mañana y en la tarde, el ángulo de inclinación óptimo se desvía de esta conjetura. Como veremos, depende de manera crucial tanto de la latitud como del día del año. La irradiación solar total recibida en el suelo consta de tres componentes principales: haz directo, difusión del cielo y reflexión del suelo. Si bien la contribución de la reflexión del suelo es insignificante, la contribución de la radiación difusa del cielo es significativa. En este estudio, nos centramos en los componentes difusos del haz directo y del cielo, e ignoramos la reflexión del suelo. Específicamente, calculamos las contribuciones de energía debidas al haz directo y a la radiación difusa del cielo por separado, investigando esta última mediante una aproximación isotrópica. En este artículo no consideramos el impacto del ángulo de incidencia de la irradiación en las características de la conversión de energía solar. Por ejemplo, la eficiencia de los paneles solares fotovoltaicos se ve afectada por el ángulo en el que los rayos solares inciden en el panel40,41,42 o, en los concentradores solares, no se puede captar la irradiación difusa. Este importante y desafiante problema requiere más investigación. Además, la eficiencia dependiente de la tecnología podría ser interesante para consideraciones futuras. Aquí, nuestro enfoque principal está en la energía de irradiación general recibida de un colector plano en lugar de profundizar en los detalles de conversión de energía y eficiencia del panel. Este artículo está organizado de la siguiente manera: en la sección “Alguna astronomía”, se presentan algunos requisitos previos de la astronomía matemática; en la sección “Formulación y metodología: orientación óptima de un receptor de placa plana”, analizamos la orientación óptima de un colector solar plano y proporcionamos una solución analítica para los ángulos óptimos; en la sección “Comparación con una placa plana de seguimiento”, comparamos la energía total recolectada por una placa plana fija y una de seguimiento, y presentamos nuestros hallazgos; La sección "Comparación con resultados existentes en la literatura" está dedicada a comparar nuestros resultados con hallazgos similares existentes en la literatura. Y finalmente concluimos el artículo con algunas observaciones finales.

Para describir la geometría Sol-Tierra, se necesita un sistema de coordenadas. Hay dos cuadros principales: heliocéntrico y geocéntrico. En la imagen heliocéntrica, el Sol (en el origen) está situado en uno de los focos de una elipse con una pequeña excentricidad de alrededor de 0,0167. La Tierra orbita alrededor del Sol en una trayectoria elíptica en un plano llamado eclíptica. El plano perpendicular al eje de la Tierra (que conecta el polo Norte con el polo Sur en el centro de la Tierra) es el plano ecuatorial de la Tierra. Está inclinado con respecto al plano de la eclíptica mediante un ángulo de oblicuidad \(23,45^\circ\). En el sistema de coordenadas geocéntrico, la Tierra está en el origen. Hay dos opciones para el plano \(xy\): ecuatorial y horizontal, que se explicarán brevemente.

En la perspectiva horizontal, el sistema de coordenadas se establece con el observador como origen, el horizonte del observador como el plano fundamental \(xy\) y el eje z a lo largo del cenit, es decir, la dirección aérea del observador hacia el cielo. La posición angular del Sol se describe mediante dos ángulos de elevación o altitud, \(\alpha _s\) y azimut \(\gamma _s\). La figura 1 proporciona una ilustración. El ángulo cenital, \(\theta _z\), y el ángulo de altitud solar, \(\alpha _s\), son complementarios. Entonces, \(\theta _z = \frac{\pi }{2} - \alpha _s\). Este ángulo representa el ángulo de irradiación del haz directo. El vector unitario \({\varvec{\sigma }}\) especifica la línea que conecta al observador con el Sol, mientras que el vector unitario \({\varvec{\nu }}\) especifica la dirección del polo norte, es decir, la línea que une el centro de la Tierra con su polo Norte.

La posición angular del Sol está dada por dos ángulos de elevación \(\alpha _s\) y azimut \(\gamma _s\) con el horizonte del observador como plano fundamental (\(xy\)).

En la perspectiva ecuatorial, el origen se sitúa en el centro de la Tierra. En esta imagen el plano fundamental es el plano ecuatorial que pasa por el ecuador terrestre. La posición angular del Sol está especificada por dos ángulos: declinación, \(\delta\), y ángulo horario, \(\omega\). El ángulo entre el plano ecuatorial y la línea que conecta el Sol con el origen (Tierra) es el ángulo de declinación, mostrado por \(\delta\). Alternativamente, el ángulo de declinación, \(\delta\), es la altitud del Sol con respecto al plano ecuatorial. Para especificar el ángulo horario, \(\omega\), primero necesitamos definir un meridiano local. La Tierra está en el origen de la esfera celeste. El meridiano celeste local es el círculo de la esfera celeste. Es perpendicular tanto al plano horizontal como al plano ecuatorial. El cenit, el nadir, el polo norte celeste y el polo sur celeste se encuentran en el meridiano celeste. El ángulo horario, \(\omega\), se define de la siguiente manera: primero, proyecta la línea que conecta el origen con el Sol en el plano ecuatorial. El ángulo horario \(\omega\) es el ángulo entre estas dos líneas: la proyección del Sol en el plano ecuatorial y la línea que conecta el origen y el punto de intersección del meridiano local con el plano ecuatorial. La Figura 2 proporciona una ilustración.

Sistema de coordenadas geocéntrico ecuatorial: La posición angular del Sol se caracteriza por dos ángulos de declinación \(\delta\) y hora \(\omega\).

Los ángulos \(\gamma _s\) y \(\alpha _s\) están relacionados con el ángulo de declinación \(\delta\), el ángulo horario \(\omega\) y la latitud \(-\frac{\pi }{2 }<\varphi <+\frac{\pi }{2}\) según las siguientes fórmulas trigonométricas:

donde hemos usado de \({\varvec{u}}= {\varvec{e}}_{\textrm{s}} \sin \varphi +{\varvec{k}}\cos \varphi\). Aquí \({\varvec{e}}_{\textrm{s}}\) y \({\varvec{e}}_{\textrm{w}}\) son vectores unitarios hacia el Sur y el Oeste. Usando las relaciones anteriores y \({\varvec{\nu }}= -{\varvec{e}}_{\textrm{s}} \cos \varphi +{\varvec{k}}\sin \varphi\) , se llega a:

Ahora, pasemos al objetivo de encontrar la orientación estática óptima de los colectores solares para captar la máxima cantidad de irradiación solar.

Está claro que la máxima cantidad de energía puede recibirse en la apertura del colector si sigue el movimiento del Sol, pero como hemos señalado, dicho mecanismo de seguimiento puede resultar caro. Cuando nos referimos a la configuración óptima de un colector solar, hablamos de especificar la orientación fija del colector, que incluye los dos ángulos de inclinación y azimut. El objetivo es determinar la orientación que maximiza la cantidad total de irradiación que incide sobre la superficie del colector durante un período de tiempo determinado. El periodo de tiempo que se emplea en medir el tiempo de irradiación puede variar desde un solo día hasta un mes, una estación o incluso un año dependiendo de nuestra aplicación deseada. Para determinar la orientación óptima de un colector solar, consideraremos el período más corto, que es un día. Con datos diarios para una orientación óptima, el procedimiento para períodos más largos se puede extrapolar fácilmente. Para nuestros propósitos, nos centraremos en la geometría de colector más simple, que es un colector de placa plana con una unidad de área. El colector de placa plana está ubicado en una latitud local de \(\varphi\), y su orientación está determinada por la dirección de su vector unitario normal, \({\varvec{n}}\). En el sistema de coordenadas esféricas de un observador, donde el plano \(xy\) es el plano horizontal local y la dirección \({\varvec{k}}\) está alineada con el cenit, este vector normal unitario se puede especificar mediante dos ángulos: el ángulo de inclinación, \(\beta\), y el ángulo azimutal, \(\gamma\). El vector unitario se puede descomponer de la siguiente manera:

Consulte la Fig. 3 para ver una ilustración de la orientación del colector de placa plana. Tenga en cuenta que el ángulo azimutal \(\gamma\) se mide positivamente desde el sur hacia el oeste.

Especificación de la orientación de una placa plana mediante dos ángulos: ángulo de inclinación, \(\beta\), y ángulo de acimut, \(\gamma\), en el sistema de coordenadas del observador local, especificado por el plano del horizonte y el cenit.

Si tomamos \(-\dfrac{\pi }{2} \le \beta \le \dfrac{\pi }{2}\), entonces los valores positivos (negativos) para \(\beta\) indican que el panel Está orientado hacia el Sur (Norte). El vector unitario \({\varvec{n}}\) se puede expandir en términos de \({\varvec{\nu }}\) y los otros dos vectores unitarios perpendiculares del plano ecuatorial de manera similar. El ángulo de incidencia \(\theta\) se define como el ángulo entre la normal a la placa, \({\varvec{n}}\), y la dirección del Sol, que es la línea que conecta al observador con el Sol. , denotado por \({\varvec{\sigma }}\). En el plano ecuatorial \(\varvec{n}\) se puede descomponer como:

El ángulo entre \({\varvec{n}}\) y \({\varvec{\nu }}\) se denota por \(\eta\), mientras que el ángulo entre la proyección de \({\varvec{ n}}\) en el plano ecuatorial y el vector unitario \({\varvec{u}}\) dentro de ese plano se denota por \(\zeta\). Consulte la Fig. 4 para ver una ilustración de estos ángulos.

Especificación de la orientación de una placa plana, \({\varvec{n}}\), mediante dos ángulos: ángulo de inclinación, \(\eta\), y ángulo de acimut, \(\zeta\), definido con respecto al ecuatorial. plano y el vector \({\varvec{\nu }}\). El plano ecuatorial está indicado por un semicírculo de color amarillo pálido.

Utilizando las Ecs. (1), (2), (6) y (7), llegamos a

Las ecuaciones (8) y (9) proporcionan \(\cos \theta\) en términos de los ángulos posicionales del Sol (\(\delta\) y \(\omega\)) en el sistema ecuatorial geocéntrico de coordenadas, la latitud del observador \(\varphi\), y los ángulos de orientación de la placa plana, \(\beta\) y \(\gamma\), o equivalentemente, \(\eta\) y \(\zeta\). Si consideramos el caso especial de \(\gamma = 0\) (o equivalentemente, \(\zeta = 0\)), los cálculos se vuelven más simples. El vector \(\varvec{n}\) está en el plano construido por \(\varvec{u}\) y \(\varvec{\nu }\) (\(\varvec{k}\) y \( \varvec{e}_s\)). Por tanto, podemos expresar \({\varvec{n}}\) de la siguiente manera:

Nuestro objetivo es determinar la cantidad total de energía de radiación que recibe la placa plana el enésimo día del año, donde \(n=1\) corresponde al primero de enero en el calendario juliano. La irradiación instantánea total, G, que incide sobre una superficie se compone de tres componentes: radiación directa del haz, \(G_b\), radiación difusa del cielo, \(G_d\), y reflexión difusa del suelo, \(G_r\). La radiación directa del haz, \(G_b\), normalmente proporciona la mayor contribución a la irradiación total. Dado que el componente de reflexión del suelo es pequeño en comparación con \(G_b\) y \(G_d\), se ignorará en este artículo. Para empezar, nos centraremos en la energía, \(E_b\), recibida por el colector plano debido a la irradiación directa del haz, \(G_b\).

La energía total de irradiación directa durante un día (desde el amanecer hasta el atardecer) recibida en una placa plana de unidad de área es:

donde las variables \(t_{\textrm{r}}\) y \(t_{\textrm{s}}\) representan las horas locales de salida y puesta del sol, respectivamente. \(G_{\textrm{bn}}\) es la magnitud del haz normal directo, y \({\varvec{G}}_{\textrm{bn}}=G_{\textrm{bn}}(- {\varvec{\sigma }})\) representa el vector de haz normal directo. Cabe señalar que \(t_{\textrm{r}}\) y \(t_{\textrm{s}}\) son funciones de n y \(\varphi\), pero por brevedad, no mencionamos explícitamente escríbelos. La variable \(\Theta\) es la función escalón de Heaviside, que asegura que la superficie reciba irradiación cuando se cumple la siguiente condición

Para evaluar la integral en la ecuación. (12), necesitamos especificar la dependencia de los ángulos de coordenadas geocéntricas del Sol \(\delta\) y \(\omega\) del día del año (DoY) y la hora local. El ángulo de declinación tiene una débil dependencia de la hora local, por lo que en este artículo lo ignoraremos a menos que se indique lo contrario. La dependencia del ángulo de declinación \(\delta\) (en radianes) con el día del año (n) viene dada por43,44:

A diferencia del ángulo de declinación, el ángulo horario \(\omega\) es únicamente una función del tiempo, concretamente de la hora del día (HoD). Usamos el tiempo solar, que se basa en el movimiento angular aparente del Sol a través del cielo. Dado que la Tierra gira \(15^\circ\) por hora alrededor de su eje, la relación entre el tiempo solar y el ángulo horario en términos de grados (radianes) por segundo se puede expresar como:

Definiendo \(\omega =0\) al mediodía solar (\(h=12:00\, \textrm{h}\)) el ángulo horario \(\omega\) se puede determinar para cualquier hora solar. El último paso sería calcular las horas locales \(t_{\textrm{r}}\) y \(t_{\textrm{s}}\) (para un DoY, n y latitud dados \(\varphi\) )) en términos de tiempo solar \(t_{\textrm{sol}}\). Para ello, escribamos primero la ecuación que relaciona la hora local (hora estándar) \(t_{\textrm{std}}\) y la hora solar \(t_{\textrm{sol}}\):

con \({\textrm{EoT}}\) (Ecuación del Tiempo):

\(d=\dfrac{2\pi (n-1)}{365}\)44, \(L_{\textrm{loc}}\) es la longitud local, y \(L_r=({\textrm{ LCT}}-{\textrm{GMT}})\times 12.5^\circ /\textrm{hour}\) es la longitud de referencia. LCT es la hora civil local y GMT es la hora media de Greenwich. Por ejemplo, la hora civil de Teherán es GMT\(+3,5~{\textrm{horas}}\), por lo tanto, para Teherán tenemos: \(L_r=3,5\times 15^\circ =52,5^\circ\). Principalmente cambiamos la variable integral del tiempo estándar t al tiempo solar \(t_{\textrm{sol}}\) en la ecuación. (12). Sin embargo, necesitamos un segundo cambio de variable de hora solar \(t_{\textrm{sol}}\) a variable de ángulo horario \(\omega\) en el integrando. Resulta:

donde \(\omega _{\textrm{r}}\) es el ángulo horario del Sol al amanecer y \(\omega _{\textrm{s}}\) es el ángulo horario del Sol al atardecer. Estos se obtienen de (3) estableciendo \(\alpha _s=0\). Esta ecuación (\(\cos \omega =-\tan \varphi \tan \delta\)) tiene dos soluciones \(\omega _{\textrm{r}}\) y \(\omega _{\textrm{s) }}=-\omega _{\textrm{r}}\) correspondientemente. La dependencia del ángulo horario del haz normal directo, \(G_{\textrm{bn}}(n,\omega )\), hace que la integral sea difícil de evaluar. En la siguiente subsección, revisaremos brevemente esta dependencia. La energía solar que llega a la Tierra es la energía electromagnética emitida por el Sol que en buena medida puede aproximarse a un cuerpo negro con temperatura superficial \(5777~{\textrm{K}}\). A medida que la luz viaja una gran distancia entre el Sol y la Tierra (distancia promedio \(1.496\times 10^{11}~{\textrm{m}}\)), se puede suponer que este flujo de energía llega a la región exterior de la Tierra. La atmósfera terrestre en forma de onda plana. Este flujo radiativo, la energía por unidad de tiempo recibida en una superficie de unidad de área perpendicular a la dirección de propagación, se denomina constante solar y se denota por \(G_{\textrm{sc}}\). Se puede comprobar fácilmente que la constante solar tiene un valor \(G_{\textrm{sc}}=1367 \dfrac{\textrm{W}}{\textrm{m}^2}\)1,45 en la media Distancia Sol-Tierra. Debido a la excentricidad de la órbita de la Tierra alrededor del Sol, la irradiación solar fuera de la atmósfera terrestre (irradiación extraterrestre) \(G_{on}\) depende del DoY. Se puede aproximar de la siguiente manera:

En el subíndice de \(G_{\textrm{on}}\), tenga en cuenta que \(``\textrm{o}''\) se refiere a “afuera” y \(``\textrm{n}''\ ) se refiere a “normal”. Debido a procesos de extinción como la dispersión o absorción de Rayleigh o Mie, la cantidad de irradiancia que llega a la superficie de la Tierra es menor que la cantidad fuera de la atmósfera. Teniendo en cuenta todos estos efectos de atenuación, la cantidad de irradiancia a nivel del suelo, denotada por \(G_{\textrm{bn}}\), se puede aproximar utilizando la siguiente fórmula:

Aquí, \(\tau _b\) representa el coeficiente de transmisión atmosférica efectivo del haz directo. Se han propuesto varios modelos, cada uno con su propio conjunto de supuestos y parámetros, para estimar la cantidad de \(\tau _b\). Cada modelo tiene sus propias ventajas y limitaciones. En este trabajo nos centramos en una condición de cielo despejado, donde no hay nubes en el cielo y la atmósfera sobre el lugar estudiado está libre de contaminantes. Bajo este supuesto, existe en la literatura una amplia gama de modelos de cielo despejado. Para simplificar, asumimos un modelo de cielo despejado propuesto en 46, en el que el cielo está despejado, despejado (visible hasta 23 km) y libre de contaminación. Según el modelo de Hottel, el coeficiente de transmisión óptica atmosférica efectiva \(\tau _b\) es:

Las constantes \(a_0,a_1\) y k dependen de la altitud y el tipo de clima. Consulte el capítulo dos de 1 para obtener más detalles. Reemplazando \(\cos \theta _z=\sin \alpha _s\) de la ecuación. (3) en las ecuaciones. (21), (20) y finalmente en la Ec. (18), llegamos a:

La integral dada por la ecuación. (22) debe evaluarse numéricamente. La variable de integración, el ángulo horario \(\omega\), varía desde el ángulo horario al amanecer, \(\omega _{\textrm{r}}\), hasta el ángulo horario al atardecer, \(\omega _ {\textrm{s}}\). Tenga en cuenta que el ángulo horario \(\omega\) se mide en radianes. Calcularemos la integral usando la regla de Simpson. Para continuar, debemos especificar los límites integrales \(\omega _{\textrm{r}}\) y \(\omega _{\textrm{s}}\). Para ello, tomamos la ciudad de Teherán con latitud \(\varphi =35.69^\circ N\) y \(n=81\), es decir; 21 de marzo (Nowruz o equinoccio de primavera que no es año bisiesto). Resulta: \(\delta (81)=23.45^\circ \sin (360^\circ )=0\) y \(G_{\textrm{on}}(81)=1375~\frac{W} {m^2}\). Los ángulos horarios de salida y puesta del sol son las raíces de la ecuación:

Suponiendo un ángulo negativo, tenemos \(\omega _{\textrm{r}}=-\omega _{\textrm{s}}=-90^\circ\). Para evaluar las integrales, necesitamos especificar los valores numéricos de los parámetros del coeficiente de transmisión \(a_0\), \(a_1\) y k. Estos valores dependen del tipo de clima y vienen dados por1:

dónde

Aquí, A representa la altitud del observador en kilómetros, y los factores de corrección \(r_0\), \(r_1\) y \(r_k\) dependen del clima. Para Teherán, que es una ciudad de altitud media con una altitud de \(A=1.2\,\textrm{km}\), los factores de corrección dependientes del clima son \(r_0=0.97\), \(r_1=0.99\ ), y \(r_k=1.02\). Teniendo en cuenta estos factores, los parámetros del coeficiente de transmisión quedan:

La Figura 5 muestra la irradiación del haz \(E_b\) sobre una superficie con unidad de área en función del ángulo de inclinación \(\beta\), para varios ángulos azimutales planos \(\gamma\), en Teherán el día de Nowruz .

Energía de irradiación de haz directo \(E_b\) (MJ) recibida en \(n=81\) DoY por una placa plana de unidad de área versus su ángulo de inclinación \(\beta\) para varios valores del ángulo de azimut \(\gamma\ ). La placa está ubicada en Teherán con latitud \(\varphi =35.69^\circ N\).

Como se muestra en la Fig. 5 para \(\delta =0\) (correspondiente al día \(n=81\)), la energía de irradiación del haz recibida por una placa plana se maximiza en los ángulos óptimos \(\gamma ^* =0\) y \(\beta ^*=\varphi\). Demostremos esto analíticamente. Para obtener la energía de irradiación del haz recibida por una placa plana con orientación arbitraria \(\beta\) y \(\gamma\) (o \(\eta\) y \(\zeta\)), es necesario evaluar la integral :

Tenga en cuenta que \(\sin \eta >0\) y es independiente de \(\omega\). Primero, aproximaremos el coeficiente de transmisión óptica atmosférica efectiva \(\tau _b\) a una constante. Entonces debemos maximizar la siguiente integral

Aquí hemos utilizado la Ec. (9). La trayectoria del Sol es simétrica con respecto al plano normal al plano ecuatorial que pasa por el cenit. Debido a esta simetría, es evidente que \(\zeta =0\) corresponde al valor extremo de la energía recibida y, por tanto, \(J(\zeta )\) está maximizado. Para cualquier solución positiva de \(\zeta\) que conduzca a un valor óptimo para E, también debería existir una solución negativa. Para completar la prueba, mostremos esto directamente. Podemos tomar \(0\le \zeta \le \frac{\pi }{2}\) sin pérdida de generalidad. El mismo argumento se aplica si tomamos \(-\frac{\pi }{2}\le \zeta \le 0\).

Tenga en cuenta que hemos utilizado la identidad: \(x\Theta (x)=\frac{1}{2}(x+|x|)\) junto con el cambio de variable \(\omega -\zeta =u\) . Maximizando la integral (30), obtenemos:

La primera ecuación da \(\eta ^*=\frac{\pi }{2}\), y la segunda conduce a \(\zeta ^*=0\). Estos son equivalentes a \(\gamma ^*=0\) y \(\beta ^*=\varphi\). Se verifica fácilmente que \(\frac{\partial ^2 I}{\partial \eta \partial \zeta }\big \vert _{\eta ^*,\zeta ^*}<0\) lo que demuestra que \ (\eta ^*=\frac{\pi }{2}\) y \(\zeta ^*=0\) es un máximo verdadero. Tenga en cuenta que \(J(\zeta )\) se puede escribir como:

donde \(f(\omega ,\zeta )=\cos (\omega -\zeta )\, \Theta [\cos (\omega -\zeta )\). Entonces \(\frac{\textrm{d} J(\zeta )}{\textrm{d} \zeta }\big \vert _{\zeta =0}=0\) da

Aquí

que es una función impar con respecto a \(\omega\). En el caso realista donde \(\tau _b\) no es constante, \(I(\eta ,\zeta )\) se transforma en \({\tilde{I}}(\eta , \zeta )\) , donde \(\tau _b\) es parte del integrando. Resulta: \({\tilde{I}}(\eta ,\zeta )=\sin \eta \tilde{\,} J(\zeta )\) donde

Maximizar con respecto a \(\eta\) todavía produce \(\eta ^*=\frac{\pi }{2}\). Uno tiene

El integrando en el lado derecho de (38) es la multiplicación de dos funciones; una función par con respecto a \(\omega\), \(\tau _b(\varphi ,\omega )\), y una función impar con respecto a \(\omega\). Entonces la integral desaparece. Por lo tanto, \(\zeta ^*=0\) y \(\eta ^*= \dfrac{\pi }{2}\) (o equivalentemente \(\gamma ^*=0\) y \(\beta ^ *=\varphi\)) maximiza la energía recibida por la placa plana. Para un día general del año (DoY) representado por n, se puede demostrar, mediante un argumento de simetría, que \(\gamma ^*=0\) sigue siendo el ángulo de acimut óptimo, pero \(\beta ^*\) depende crucialmente de n. La Figura 6 muestra la dependencia de \(E_b\) de \(\beta\) para diferentes valores de n.

Energía de irradiación directa del haz (MJ) recibida por una placa plana de unidad de área en el n-ésimo DoY versus su ángulo de inclinación \(\beta\) para varios valores de \(\delta\). La placa está ubicada en Teherán con latitud \(\varphi =35.69^\circ N\). El ángulo de acimut de la placa se establece en \(\gamma =0\).

La Figura 7 muestra la energía de irradiación directa del haz diario (en MJ) recibida por una placa plana de unidad de área en función de su ángulo de inclinación \(\beta\) para todos los días del año \(n=1,\cdots ,365 \). Cada gráfico en (7) representa la energía de irradiación diaria del haz versus \(\beta\) para un día específico del año. La energía recibida diariamente toma su valor máximo en un ángulo de inclinación dependiente del día \(\beta ^*(n)\). La Figura 8 muestra la energía máxima de irradiación del haz (MJ) recibida por una placa plana de unidad de área ubicada en Teherán con latitud \(\varphi =35.69^\circ N\), el ángulo de acimut de la placa se establece en cero. La Figura 9 muestra el ángulo de inclinación óptimo \(\beta ^*\) frente a DoY, n.

Energía de irradiación directa del haz diario (MJ) recibida por una placa plana de unidad de área en función de su ángulo de inclinación \(\beta\) (en radianes). La curva inferior (superior) corresponde al día del año \(n=354\) (\(n=171\)), que representa el solsticio de invierno y el solsticio de verano, respectivamente. La placa está ubicada en Teherán, Irán, con latitud \(\varphi =35.69^\circ N\), y su ángulo de acimut está establecido en \(\gamma =0\).

Energía máxima de irradiación del haz (MJ) recibida por una placa plana óptimamente orientada de unidad de área versus DoY, n. La placa está ubicada en Teherán con una latitud \(\varphi =35.69^\circ N\) y su ángulo de acimut está establecido en \(\gamma =0\). En el día \(n=171\), la placa recibe su energía diaria máxima anual, que es de aproximadamente 27,7 MJ.

El ángulo de inclinación óptimo \(\beta ^*\) (grados) versus DoY, n. La placa está ubicada en Teherán con latitud \(\varphi =35.69^\circ N\). El ángulo de acimut de la placa se establece en \(\gamma =0\).

Aunque hemos presentado datos para una ubicación específica (Teherán, Irán) en el hemisferio norte, el comportamiento cualitativo de los resultados sigue siendo el mismo para otras ubicaciones con tipos climáticos similares.

Ahora investigamos la contribución del componente de irradiación difusiva del cielo \(E_d\) a la energía recibida por un colector plano inclinado. Existen diferentes modelos que describen la direccionalidad de la irradiación difusiva. Aquí, adoptamos la suposición más simple de que la parte difusiva de la irradiación solar en el cielo es isotrópica. El vector unitario \({\varvec{e}}_r\), que representa la dirección de la radiación difusa recibida, se puede especificar mediante dos ángulos: el ángulo polar \(\vartheta\) y el ángulo azimutal \(\phi \) en el sistema esférico de coordenadas del observador local. Tenemos:

Consulte la Fig. 10 para ver una ilustración. Como el argumento de simetría sigue siendo válido en este caso, establecemos \(\gamma ^*=0\). Teniendo el vector unitario \({\varvec{n}}\) en la ecuación. (6) encontramos:

Incidencia de la radiación difusiva del cielo a lo largo del ángulo sólido diferencial dirigido a \(-{\varvec{e}}_r\) especificado por dos ángulos polar \(\vartheta\) y azimut \(\varphi\) en el sistema esférico del observador local de coordenadas.

La contribución \(E_d\) de la componente difusiva del cielo a la energía irradiada recibida resulta ser

donde \(G_d(n,\omega )\) es la irradiación difusiva del cielo sobre una superficie horizontal de unidad de área y \({\mathbb {S}}\) es la región de integración angular que satisface \({\varvec{e} _r}\cdot {\varvec{n}}\,\ge 0\). Resulta,

La irradiación difusa parece ser isotrópica ya que no existe una dirección preferida cuando miramos al cielo. Se han propuesto muchos modelos para estudiar la contribución de la irradiación difusa. Los lectores interesados ​​podrán encontrar reseñas sobre muchos de ellos en47. Aquí adoptamos la versión del modelo de cielo despejado propuesto por Liu y Jordan en 48. Según su modelo, la irradiación difusiva isotrópica instantánea del cielo \(G_d\) sobre una superficie horizontal con unidad de área se da de la siguiente manera:

donde \(\tau _d=0.271-0.294\tau _b\) es el coeficiente de transmisión atmosférica de la irradiación difusiva. La irradiación difusa total instantánea sobre una superficie inclinada de unidad de área viene dada por:

La energía diaria recibida por una placa plana inclinada debido a la irradiación difusa del cielo se convierte en:

Sustituyendo \(G_{dT}(n,\omega )\) de (44), la integral en (45) se convierte en:

Esta integral se puede evaluar numéricamente para un ángulo de inclinación \(\beta\) y DoY dados. Nuestro código es capaz de encontrar el valor óptimo \(\beta ^*\) para la energía total recibida \(E_{\textrm{tot}}=E_b+E_d\). La Figura 11 muestra la energía total diaria máxima \(E_{\textrm{tot}}\) y el componente de la viga \(E_b\) incidido sobre una placa plana con área unitaria. Como se ve, la irradiación difusiva mejora la energía total recibida \(E_{\textrm{tot}}=E_b+E_d\).

Energía irradiada total máxima diaria \(E_{\textrm{tot}}\) y energía irradiada por haz \(E_b\) (MJ) recibida por una placa plana de unidad de área versus n. La placa está ubicada en Teherán con latitud \(\varphi =35.69^\circ N\). El ángulo de acimut de la placa se establece en el valor óptimo \(\gamma ^*=0\).

La Figura 12 muestra el ángulo de inclinación óptimo diario \(\beta ^*\) tanto para las energías directas \(E_b\) como para la total \(E_{\textrm{tot}}\) frente a n. Como puede ver, los valores óptimos están muy cerca uno del otro.

Gráfica del ángulo de inclinación diario óptimo \(\beta ^*\) frente a n tanto para \(E_b\) como para \(E_{\textrm{tot}}\). La placa está ubicada en Teherán con latitud \(\varphi =35.69^\circ N\). El ángulo de acimut de la placa se establece en \(\gamma =0\).

Es muy deseable determinar la cantidad de energía de radiación que recibiría un colector plano si siguiera al Sol. A medida que la placa sigue el haz del Sol, maximiza su exposición solar orientándose perpendicularmente al haz. Para responder a esta pregunta, la energía recibida se divide en dos partes: haz directo y radiación celeste difusa. Evaluar la contribución de la energía del haz directo es relativamente sencillo. Desde una perspectiva matemática, es necesario mantener el ángulo de incidencia \(\theta\) en cero, lo que significa que el vector normal unitario \({\varvec{n}}\) siempre está a lo largo del vector solar \({\ varvec{\sigma }}\) durante todo el día. Al igualar las Ecs. (1) y (6), obtenemos \(\beta =\frac{\pi }{2}-\alpha _s=\theta _z\) y \(\gamma =\gamma _s\). Por ejemplo, para un observador en el ecuador (\(\varphi =0\)) y en \(n=81\), donde \(\delta =0\), tenemos según (3) \(\beta =\omega\). La cantidad total de energía de haz directo \(E^{\textrm{trc}}_b\) que un receptor de placa plana de seguimiento puede obtener en el enésimo DoY se puede obtener estableciendo \(\theta =0~(\cos \theta = 1)\) en la integral (22). Resulta:

La integral en (47) se puede calcular numéricamente. A continuación, se investiga la contribución difusiva del cielo. Para una placa de seguimiento, podemos considerarla como una placa fija con un ángulo de inclinación instantáneo \(\beta\) con \(\cos \beta ={\varvec{k}}\cdot {\varvec{n}}={ \varvec{k}}\cdot {\varvec{\sigma }}=\sin \alpha _s\). Reemplazando \(\cos \beta\) con \(\sin \alpha _s\) en la ecuación. (44) la irradiación difusa instantánea del cielo de una placa plana de seguimiento se convierte en:

La contribución de la difusión del cielo a la energía recibida diariamente de una placa de seguimiento se puede obtener mediante la siguiente integración:

Aquí hemos utilizado la relación \(\sin \alpha _s=\cos \theta _z\). La Figura 13 muestra la dependencia diaria de la irradiancia difusa del cielo \(E_d\), la irradiancia del haz \(E_b\) y la energía total recibida \(E_{\textrm{tot}}\) para un seguidor de placa plana de unidad de área. ubicado en Teherán, Irán, con una latitud de \(\varphi =35.69^\circ N\).

Dependencia de la difusión del cielo separada \(E_d\), el haz \(E_b\) y el total \(E_{\textrm{tot}}\) en n para una placa plana seguidora de área unitaria. La placa está ubicada en Teherán, Irán, con latitud \(\varphi =35.69^\circ N\).

Como era de esperar, una placa de seguimiento es capaz de capturar más energía solar que una placa fija con una orientación óptima. La Figura 14 ilustra la variación diaria en la energía total recibida tanto por las placas fijas como por las de seguimiento, así como el aumento porcentual de energía debido al seguimiento.

Dependencia diaria de las energías totales, fijadas y de seguimiento (izquierda), y el porcentaje de aumento relativo de energía debido al seguimiento (derecha). La placa está ubicada en Teherán, Irán, con latitud \(\varphi =35.69^\circ N\).

Como puede ver, la cantidad relativa del porcentaje de aumento total de energía debido al seguimiento del Sol depende críticamente del DoY. El valor mínimo del porcentaje de aumento relativo de energía es de aproximadamente \(17\%\) a principios del invierno. Sube alrededor del \(40\%\) en un intervalo relativamente largo que comienza a mediados de mayo.

La mayoría de los resultados existentes se obtienen para ubicaciones particulares con diferentes condiciones climáticas. Hasta donde sabemos, no se han encontrado resultados similares para la ciudad de Teherán. Si bien se han realizado algunas investigaciones en ciudades del sur de Irán, cerca del Golfo Pérsico, ninguna de ellas ha tenido en cuenta las condiciones de cielo despejado. Los únicos artículos que han tenido en cuenta el supuesto de cielo despejado son 14, que investigaron la ciudad de Assiut en Egipto con latitud \(\varphi =27.82^\circ N\), y 21, que calcularon los ángulos de inclinación óptimos para los días representativos de cada mes en varias latitudes diariamente. La dependencia cualitativa tanto del ángulo de inclinación óptimo promedio diario como de la energía máxima recibida en el ángulo óptimo diario en el día del año en Teherán y Assiut son similares entre sí. Esto se puede ver comparando las Figs. 11 y 12 con la Fig. 3 de referencia 14. Además, nuestros resultados para el ángulo de inclinación óptimo concuerdan con los presentados en 21 para la latitud \(\varphi =35^\circ N\), que está relativamente cerca de la latitud de Teherán. Para arrojar más luz sobre el problema, comparamos nuestros hallazgos con investigaciones existentes que han tenido en cuenta las condiciones climáticas. La mayoría de estos periódicos han informado promedios mensuales en ubicaciones específicas. Para tener en cuenta las condiciones climáticas, incluida la nubosidad y los contaminantes, normalmente se introduce un índice de claridad \({\overline{K}}\). Este índice representa la relación entre la energía total promedio mensual recibida por una superficie horizontal (directa, difusa y de reflexión en el suelo) y la energía que recibiría una superficie horizontal fuera de la atmósfera. Se define como \(K=\frac{{\overline{H}}}{\overline{H_{\textrm{o}}}}\), donde \({\overline{H}}\) es el energía recibida promedio mensual y \(\overline{H_{\textrm{o}}}\) es la energía diaria promedio mensual recibida fuera de la atmósfera. La energía de radiación total promediada mensualmente recibida por una superficie inclinada de unidad de área en la Tierra está dada por \({\overline{H}}_T=R{\overline{H}}\), donde \(R<1\) es un coeficiente que se puede estimar considerando individualmente los componentes del haz, difuso y reflejado de la incidencia de la radiación en la superficie inclinada. Suponiendo que la radiación difusa y reflejada son isotrópicas, Liu y Jordan48 propusieron que R puede expresarse como:

Aquí, \(\overline{H_d}\) es la energía difusa diaria promedio que recibe una superficie horizontal de unidad de área, \(\rho _g\) es el coeficiente de reflexión del albedo del suelo y \(\beta\) es la superficie ángulo de inclinación. Una vez que se especifican \(R_b\) y \(\overline{H_d}\), se puede calcular la energía total promedio mensual que recibe una superficie inclinada. Hay varios modelos disponibles para determinar \(\overline{H_d}\). Por lo general, la gente expresa \(\overline{H_d}\) como un polinomio del índice de claridad \({\overline{K}}\). Los lectores pueden consultar 27 y 47 para conocer varios modelos de \(\overline{H_d}\) y la expresión exacta de \(R_b\). Los estudios más cercanos a la latitud de Teherán se realizaron en 49,50, que investigaron ocho ciudades de Turquía. Entre ellos, Adana con una latitud de \(\varphi =36.59^\circ N\) tiene la latitud más cercana a Teherán. Por ejemplo, el 16 de marzo, los ángulos de inclinación óptimos en Teherán (supuesto de cielo despejado) y Adana (condiciones climáticas realistas) son \(33^\circ\) y \(36^\circ\), respectivamente. Cualitativamente, la dependencia diaria del ángulo de inclinación óptimo es similar en ambas ciudades, a pesar de que la energía total es mayor en Teherán que en Adana. En otro estudio realizado en latitudes más altas en el hemisferio norte, se encontró que el ángulo de inclinación óptimo para Nottingham, Inglaterra, era de alrededor de \(50^\circ\) a mediados de marzo. En 21, se descubrió que el ángulo de inclinación óptimo para una latitud de \(35^\circ\) era \(38^\circ\) a mediados de marzo. Otro estudio realizado para Abu Dhabi, que tiene una latitud más baja que Teherán, da el ángulo de inclinación óptimo promedio para marzo en \(25^\circ\). Hablando ingenuamente, el ángulo de inclinación óptimo tiende a disminuir al disminuir la latitud.

En resumen, hemos calculado analíticamente los ángulos óptimos de inclinación y acimut para un colector fijo de tipo plano en una latitud determinada. Se desprecia la contribución de la radiación solar reflejada por el suelo. Hemos evaluado por separado la energía máxima recibida por una placa plana de unidad de área asociada con los componentes de irradiación del haz directo y del cielo difuso. En un sistema de coordenadas geocéntrico, se ha demostrado analíticamente que el ángulo azimutal óptimo de un colector es \(\gamma ^*=0\), basado en el movimiento simétrico del Sol con respecto al plano ecuatorial. Sin embargo, el ángulo de inclinación óptimo \(\beta ^*\) depende crucialmente del día del año (n) y de la latitud local. Se realizó un análisis analítico para una ubicación climática de altitud media en Teherán, Irán. Las energías máximas recibidas diariamente, es decir, haz directo y cielo difuso, asociadas con esta orientación óptima, se comparan con sus valores correspondientes cuando la placa plana sigue al Sol. La cantidad relativa del aumento total de energía debido al seguimiento del Sol depende drásticamente del día del año. A principios de invierno, el porcentaje de aumento es mínimo y ronda el \(17\%\). En un intervalo relativamente largo que comienza a partir de mediados de mayo, el porcentaje de aumento es grande, hasta el \(40\%\). Aunque nuestros resultados están asociados con una ubicación particular (Teherán) con un clima de altitud media, el comportamiento cualitativo para otras latitudes sigue siendo el mismo. No hemos encontrado una comparación tan detallada en ninguna otra parte de la literatura.

Todos los datos generados o analizados durante este estudio se incluyen en este artículo publicado.

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Descargar referencias

Agradecemos las conversaciones con el profesor Mohammad Naraghi del Manhattan College NY/EE.UU. Los autores desean agradecer al profesor Mohammad Khorrami de la Universidad de Alzahra, Teherán, por sus útiles comentarios, a Alireza Aghamohammadi por escribir el código Python para los cálculos numéricos y al Dr. Emanuele Calabro de la Universidad de Messina por sus fructíferos comentarios. AA desea agradecer al consejo de investigación de la Universidad de Alzahra por el apoyo financiero. MEF agradece el apoyo financiero de la Fundación Nacional de Ciencias de Irán (INSF) en virtud de la subvención n.º 97001386.

Facultad de Física, Universidad de Alzahra, Teherán, Irán

Amir Aghamohammadi

Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Zanjan, Zanjan, 45371-38791, Irán

M. Ebrahim Foulaadvand

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Ambos autores revisaron el manuscrito.

Correspondencia a Amir Aghamohammadi.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

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Aghamohammadi, A., Foulaadvand, ME Comparación de eficiencia entre colectores solares planos de seguimiento y óptimamente fijos. Informe científico 13, 12712 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-39892-y

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Recibido: 16 de noviembre de 2022

Aceptado: 01 de agosto de 2023

Publicado: 05 de agosto de 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-39892-y

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